Résumé C. Bonatti

Je vais vous présenter un sujet que j'ai donné d'abord comme mémoire
de Master, puis qui devrait se prolonger comme sujet de thèse, à une étudiante, Mouna SAIDI.

Dans la première heure, je présenterai un résultat de Solodov (1995):

Théorème: toute action d'un groupe G sur la droite R par des
homéomorphismes g ayant au plus 1 point fixe (si g est différent de
l'élément neutre) vérifie une des deux possibilités suivantes:
— ou bien l'action de G possède un point fixe global (point fixe commun aux
éléments de G), dans ce cas G est abélien ;
— ou bien il existe une application h continue croissante surjective de R
sur R telle que h induit une semi conjugaison de l'action de G à celle d'un
sous groupe du groupe affine de R.

La preuve du théorème de Solodov est une généralisation de celle du théorème
d'Hölder (sur les actions libres sur R), avec quelques difficultés et astuces
supplémentaires. Elle suit celle presentée dans le livre de Andres Navas.

Les théorèmes d'Hölder et de Solodov permettent de considérer les actions sur
le cercle S^1 par des homéomorphismes ayant au plus 2 points fixes, dans le
cas ou l'action admet 1 point fixe global (l'infini de R). Qu'en est-il des
actions sur S^1 avec au plus 2 points fixes mais sans point fixe global?
On pourrait espérer que PSL(2,R) soit le groupe de référence, et que toute
action soit semi conjuguée à un sous groupe de PSL(2,R). Cependant Natasa
Kovasevic a construit des exemples de groupes non semi-conjugués à des sous
groupes de PSL(2,R). Je présenterai les exemples de Kovasevic.

Je présenterai alors les pistes sur lesquelles je lance Mouna:
Je cherche à lui faire montrer que tout groupe agissant sur le cercle avec
au plus 2 points fixes est un produit amalgamé de groupes semi-conjugués à des
sous groupes de PSL(2,R), l'amalgame ayant lieu sur un groupe abélien, et
aussi de construire des exemples réalisant ces produits amalgamés.

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