Résumé D. Burguet

Je vais présenter la théorie des structures d'entropie et des extensions
symboliques, en particulier certains développements récents dans le cadre
des systèmes dynamiques C^r.

Une structure d'entropie est une suite croissante de fonctions qui
converge vers la fonction entropie métrique en reflétant la dynamique
topologique locale. Elles définissent une nouvelle notion d'entropie qui
recouvre les quantités classiques (entropie topologique, entropie
métrique, entropie de queue).
Une extension symbolique est une extension topologique qui est un
sous-décalage à alphabet fini. La théorie des extensions symboliques
cherche à répondre aux questions suivantes : Etant donné un système
dynamique existe-t-il de telles extensions? Que peut-on dire de
l'entropie de ces extensions?

Première heure : Après avoir présenté la notion de structures d'entropie
on introduira le formalisme fonctionnel permettant de relier celles-ci
aux extensions symboliques.

Deuxième heure : On expliquera tout d'abord brièvement la construction
d'exemples pathologiques au sens des extensions symboliques, i.e. dont
l'entropie des extensions symboliques est "beaucoup plus grande" que
l'entropie topoloqique du système.
La question de l'existence d'extensions symboliques pour les systèmes
dynamiques C^r avec 1<r<+\infty est toujours ouverte. Cependant elle a
été résolue récemment dans le cas des applications de l'intervalle et des
difféomorphismes locaux de surface. J'exposerai dans un deuxième temps
les idées des preuves de ces deux résultats.

Références :

M.Boyle, T.Downarowicz, The entropy theory of symbolic
extension, Invent. Math. 156 (2004), no.1, 119-161 .

D.Burguet, C^2 surface diffeomorphisms have symbolic
extensions, Preprint (2009).

T.Downarowicz, Entropy structure, J. Anal. Math. 96 (2005), 57-116.

T.Downarowicz and A.Maass,
Smooth interval maps have symbolic extensions,
Invent. Math., 176 (2009), 617-636.

T.Downarowicz, S.Newhouse, Symbolic extension entropy in smooth
dynamics, Invent. Math. 160 (2005), 453-499.

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