Christian Bonatti : Classes isolées des difféomorphismes ou champs de vecteurs C1-génériques

(Tentative de programme.)

Notes de cours

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Première séance

  • Construction d'exemples d'ensembles robustement transitifs, d'après Shub, Mañé, de Carvalho, Bonatti-Diaz, Bonatti-Viana pour les difféomorphismes, le modèle géométrique de l'attracteur de Lorenz et ses généralisations pour les champs de vecteurs.
  • Construction de classes non-isolées (Bonatti-Diaz, Bonatti-Li-Yang).

Plutôt que de présenter séparément les exemples, on tentera d'en extraire des critères généraux permettant de construire de nouvelles classes d'exemples.

Deuxième séance

Pour tout difféomorphisme générique, toute classe isolée est robustement isolée. De plus c'est une classe homocline.
(D'après Carballo-Morales-Pacifico, Abdenur, Bonatti-Crovisier.)
Idées principales de la preuve.

Troisième séance

Classes isolées non-hyperboliques : existence de cycles hétérodimensionnels robustes.
Indice des orbites périodiques contenues dans une classe isolée.
Approximation des mesures par les orbites périodiques.

Quatrième séance

Classes isolées loin des tangences homoclines : la décomposition dominée la plus fine.

Références

Dynamics beyond uniform hyperbolicity par C. Bonatti, L. Diaz et M. Viana.
En particulier le chapitre 7 (robust transitivity) mais aussi le chapitres 6 (heterodimensional cycles and blenders) et le chapitre 10 (generic diffeomorphisms).

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